Dans la théorie des chemins rugueux, l’aire de Lévy joue un rôle important non seulement en tant que composante du mouvement brownien, mais aussi dans l’étude de la convergence des solutions des EDS, et c’est là où l’absence ou la présence d’un drift à la limite est cruciale. Le but de cet exposé est de construire explicitement une aire de Lévy avec drift comme limite renormalisée d’une chaîne de Markov sur un graphe périodique, d’en donner quelques propriétés et d’illustrer le tout par quelques exemples de modèles issus de la physique quantique.

A point in the state space of a stochastic process is called “thin” if the associated occupation measure of the ball centered at this point is exceptionally small. We consider in this talk the Hausdorff dimension of thin points of a class of Markov processes with jumps. This is a joint work with Stéphane Seuret.

Dans cet exposé nous présenterons les idées clés de l’article “Liouville Quantum Gravity on the Riemann Sphere” écrit par David, Kupiainen, Rhodes et Vargas. Le but est de construire une surface de Riemann aléatoire canonique tout comme le mouvement brownien nous donne une courbe aléatoire canonique. La construction probabiliste s’effectuera essentiellement grâce au champ libre gaussien. Notons également que ces travaux sont largement inspirés par la physique théorique et en particulier par l’article “Quantum geometry of bosonic strings” dans lequel Polyakov propose une “intégrale de surface” qui correspond à l’équivalent bidimensionnel de l’intégrale de chemin de Feynman.

We will try to briefly review two recent mathematical constructions of some random measures defined on the Riemann sphere. These objects are motivated by a rigorous description of the Liouville Quantum Gravity (here on the sphere). We will try to compare these two constructions and relate several key elements that appear naturally in both approaches. If time permits, we can also discuss the advantage of each approach. Joint work with Juhan Aru and Xin Sun.

On s'intéresse à la mosaïque de Voronoi engendrée par un processus ponctuel de Poisson homogène sur une surface riemannienne. Plus précisément, on montre un lien entre les caractèristiques moyennes et d'une cellule et la courbure gaussienne de la surface. On se concentre sur le nombre moyen de sommets en commançant par donner une formule exacte dans le cas d'une sphère. On généralise ensuite à une surface quelconque en donnant un développement asymptotique à grande intensité. La preuve repose principalement sur des résultats classiques de comparaison issus de la géométrie riemannienne.

Synaptic microdomains are underlying fundamental and yet not completely understood functions, such as learning and memory, breathing, sleeping, and many more. Motivated by understanding and analyzing these neuronal structures, we built a model to study vesicular release at synapses. As a first step, we computed the mean time for a Brownian particle to arrive at a narrow opening defined as the small cylinder joining two tangent spheres. The method relies on Möbius conformal transformation applied to the Laplace equation. We also estimated, when the particle starts inside a boundary layer near the hole, the splitting probability to reach the hole before leaving the boundary layer, which is also expressed using a mixed boundary-value Laplace equation. Using these results, we developed model equations and their corresponding stochastic simulations to study vesicular release at neuronal synapses, taking into account their specific geometry.

Antibody affinity maturation is a key process in adaptive immunity: it’s a mechanism which allows B-cells to produce high affinity antibodies against a specific antigen. Besides the biological motivations, the analysis of this learning process brought us to build a mathematical model which could be relevant to model other evolutionary systems, but also gossip or virus propagation. Our aim is to propose and analyze a mathematical model of the division-mutation-selection process of B-cells during an immune response. In particular, we investigate how the combination of various mutation models influences the typical time-scales characterizing the efficiency of the state space exploration. Our method is based on the complementarity between probabilistic tools and numerical simulations.

Soit ϱ une mesure de probabilité sur G=SL₂(Z) dont le support engendre un sous groupe non élémentaire. L'action de G sur le tore permet de définir une marche aléatoire : partant d'un élément x et d'une suite (g_n) iid de loi ϱ, on considère la suite g_n ... g₁ x. Dans cet exposé nous verrons que si x est irrationnel alors cette suite s'équidistribue ps et puis, nous verrons le théorème central limite pour les points ayant de bonnes propriétés diophantiennes.

L'entropie d'une variable aléatoire discrète, introduit par Shannon et généralisé par Kolmogorov, Sinai et autres, satisfait l'identité 0=H(Y|X)-H(XY)+H(X). On verra que, si on considère une catégorie S de “observables” et un topos de Grothendieck associé à ce catégorie (les préfaisceaux sur S), l'égalité ci-dessus s'interprète au niveau cohomologique comme une condition de cocycle. Sous certaines hypothèses, l'entropie apparaît comme le générateur du premier groupe de “cohomologie de l'information”, introduit par Benenquin-Baudot l'année dernière. On parlera de cette approximation catégorique aux probabilités classiques et quantiques; quelques constructions de Gromov seront aussi mentionnés.

En 1971, Eigen propose un modèle déterministe pour modéliser l’évolution au cours du temps d’une population infinie de macromolécules avec mutation et sélection. Deux phénomènes importants apparaissent : le seuil d’erreur et la quasi-espèce. Afin d’obtenir une version de ces résultats pour une population finie, nous étudions un modèle de Wright–Fisher avec mutation et sélection, et nous récupérons, dans un certain régime asymptotique, les phénomènes de seuil d’erreur et quasi-espèce. Nous trouvons de plus une formule explicite pour la distribution de la quasi-espèce. L’exposé sera introductif et non technique.

On considère dans cet exposé un modèle de branchement avec sélection introduit par Brunet, Derrida, Mueller et Munier dans la littérature physique : chaque particule bouge selon un mouvement brownien pendant un temps de vie exponentiel puis se sépare en deux nouvelles particules et, lorsqu'une particule se trouve à une distance L de la plus haute, elle meurt. On montre l'existence d'une vitesse asymptotique pour ce système de particule et on s'intéresse à son comportement quand L tend vers l'infini, confirmant ainsi une première partie des conjectures établies par les physiciens. Quelques brèves idées de démonstration seront présentées.

Dans la littérature mathématique, le mot diffusion fait référence à plusieurs définitions différentes. Je m'intéresse à la diffusion dite "macroscopique" caractérisée par l'existence d'une densité de particules évoluant selon la loi de Fick. Je porterai mon attention sur le modèle des miroirs en dimension 2 et sur sa généralisation en dimension quelconque. Ce modèle de gaz de Lorentz sur réseau permet un énoncé clair et rigoureux de la loi de Fick. Une approche analytique nous a permis de simplifier le problème et de réaliser une étude numérique qui permet de conjecturer la validité de la loi de Fick en dimension 3. Je présenterai succinctement l'étude, de façon très visuelle et abordable.